第一章

规定 任何实数都可用确定的无限小数表示

定义 1.1 给定两个非负实数，a<=>ba<=>b 定义由按位比较给出。

定义 1.2 n位不足近似

xn=a0.a1⋯anx_n=a_0.a_1\cdots a_n

n位过剩近似

xˉn=xn+110n\bar{x}_n=x_n+\dfrac1{10^n}

命题 x>yx>y 的等价条件是：∃n∈N,xn>yˉn\exist n\in\N,x_n>\bar{y}_n

实数集的性质

  1. 对四则运算封闭
  2. 有序
  3. 大小具有传递性
  4. 阿基米德性：∀a,b∈R,b>a>0,∃n, s.t. na>b\forall a, b\in\mathbb{R},b>a>0,\exist n, \text{ s.t. } na>b
  5. 稠密性

邻域&区间：

U(a;δ)={x∣∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)U(a;\delta)=\{x||x-a|<\delta\}=(a-\delta,a+\delta)

U ˚(a;δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}U\mathring{\space}(a;\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta\}

U(∞)={x∣∣x∣>M}U(\infty)=\{x||x|>M\}

U(+∞)={x∣x>M}U(+\infty)=\{x|x>M\}

U(−∞)={x∣x<−M}U(-\infty)=\{x|x<-M\}

定义 2.1
上界/下界：略
有界集：即有上界又有下界，反之：无界集

定义 2.2

上确界 η=sup⁡S\eta=\sup S：上界 ∀x∈S,x≤η\forall x\in S, x\leq \eta + 最小上界 ∀α<η,∃x0∈S s.t. x0>α\forall\alpha<\eta,\exist x_0\in S\text{ s.t. }x_0>\alpha

下确界 ξ=inf⁡S\xi=\inf S

定理 1.1（确界原理）

设 SS 为非空数集，若 SS 有上界，则必有上确界；有下界则必有下确界

证明思路：不断逼近，区间十等份，取 nkn_k 使得

∀x∈S,x<n.n1n2⋯nk+110k∃ak∈S,ak>=n.n1n2⋯nk\forall x\in S, x<n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac1{10^k}\\\exist a_k\in S, a_k >= n.n_1n_2\cdots n_k

得到实数 η=n.n1n2⋯nk⋯\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots

证明

  1. ∀x∈S,x≤η\forall x\in S, x\leq \eta
  2. ∀α<η,∃α′∈S,α<α′\forall \alpha<\eta,\exist\alpha'\in S, \alpha<\alpha'

随后使用反证法

第二章

定义 1.1 数列{an}\{a_n\} 收敛于 aa，aa 称为数列 {an}\{a_n\} 的极限：略

定义 1.1’ 任给 ε>0\varepsilon>0 若在 U(a;ε)U(a;\varepsilon) 之外数列 ${a_n} 中的项最多只有有限个，则称数列 ${a_n} 收敛于极限 aa.

定义 1.2 {an}\{a_n\} 为无穷小数列：若 lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0

定义 1.3 {an}\{a_n\} 发散于无穷大，记作 lim⁡n→∞an=∞\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty 或 an→∞a_n\to\infty，称 {an}\{a_n\} 为无穷大数列或无穷大量：若 {an}\{a_n\} 满足：∀M>0,∃N,s.t.∀n>N,∣an∣>M\forall M>0,\exists N, \text{s.t.} \forall n>N,|a_n|>M

注意：无界数列不一定是无穷大量 e.g. {[1+(−1)n]n}\text{e.g. }\{[1+(-1)^n]n\}

定义 1.4 {an}\{a_n\} 发散于正（负）无穷大，略

定理 2.2~2.6（收敛数列的性质）

  • 「唯一性」
  • 「有界性」
  • 「保号性」
  • 「保不等式性」
  • 「迫敛性」

定理 2.7（四则运算法则）

描述略. 下面证明关于积和倒数的结论：

积：
∣anbn−ab∣=∣(an−a)bn+a(bn−b)∣≤∣an−a∣∣bn∣+∣a∣∣bn−b∣|a_nb_n-ab|=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|\leq|a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|

「有界性」⇒∃M>0,∀n, s.t. ∣bn∣<M\Rightarrow\exist M>0, \forall n, \text{ s.t. }|b_n|<M

故 ∣anbn−ab∣<(M+∣a∣)ε|a_nb_n-ab|<(M+|a|)\varepsilon

倒数：

「保号性」⇒∃N1, s.t.∣bn∣>12∣b∣.\Rightarrow\exist N_1, \text{ s.t.} |b_n|>\dfrac12|b|.
定义：∃N2,∣bn−b∣<ε,when n>N2\exist N_2, |b_n-b|<\varepsilon, \text{when } n>N_2
故 n>max⁡N1,N2n>\max{N_1,N_2} 时 ∣1bn−1b∣=∣bn−b∣∣bnb∣<2∣bn−b∣b2<2εb2\left|\dfrac1{b_n}-\dfrac{1}{b}\right|=\dfrac{|b_n-b|}{|b_nb|}<\dfrac{2|b_n-b|}{b^2}<\dfrac{2\varepsilon}{b^2}

定义 2.1 称数列 {an}\{a_n\} 的一个子列 {ank}\{a_{n_k}\}，当{nk}\{n_k\} 为正整数集 N+\mathbb{N}_+ 的无限子集，且 n1<n2<⋯<nk<⋯n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots

定理 2.8 {an}\{a_n\} 收敛的充要条件是 {an}\{a_n\} 的任何子列都收敛.

充分性：{an}\{a_n\} 也是自身的一个子列.
必要性：略

定理 2.9 （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理 2.10 任何数列都存在单调字列

分两种情况讨论：

  1. 若对任意正整数 kk 数列 {ak+n}\{a_{k+n}\} 有最大项，设