本来是考试的,但是数论忘了,只好滚去学数论。
性质
若 f(x) 和 g(x) 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:
h(x)h(x)h(x)h(x)=f(xp)=fp(x)=f(x)g(x)=d∣x∑f(d)g(dx)
设 x=∏piki
若 F(x) 为积性函数,则有 F(x)=∏F(piki) 。
若 F(x) 为完全积性函数,则有 F(X)=∏F(pi)ki 。
例子
- 单位函数: ϵ(n)=[n=1] (完全积性)
- 恒等函数: idk(n)=nk id1(n) 通常简记作 id(n) 。(完全积性)
- 常数函数: 1(n)=1 (完全积性)
- 除数函数: σk(n)=∑d∣ndk σ0(n) 通常简记作 d(n) 或 τ(n) , σ1(n) 通常简记作 σ(n) 。
- 欧拉函数: φ(n)=∑i=1n[gcd(i,n)=1]
- 莫比乌斯函数: μ(n)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧10(−1)ω(n)n=1∃d>1:d2∣notherwise ,其中 ω(n) 表示 n 的本质不同质因子个数,它是一个加性函数。